在△abc中，設(shè)bc＝a，ac＝b，ab＝c，試根據(jù)b，c，a來表示a。 分析：由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題，所以應(yīng)添加輔助線構(gòu)造直角三角形，在直角三角形內(nèi)通過邊角關(guān)系作進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化工作，故作cd垂直于ab于d，那么在rt△bdc中，邊a可利用勾股定理用cｄ、ｄb表示，而cd可在rt△aｄc中利用邊角關(guān)系表示，db可利用ab－ad轉(zhuǎn)化為ad，進(jìn)而在rt△aｄc內(nèi)求解。

解：過c作cd⊥ab，垂足為d，則在rt△cｄb中，根據(jù)勾股定理可得： a2＝cｄ2＋bｄ2

∵在rt△aｄc中，cｄ2＝b2－aｄ2



又∵bｄ2＝（c－aｄ）2＝c2－2c·aｄ＋aｄ2

∴a2＝b2－aｄ2＋c2－2c·aｄ＋aｄ2＝b2＋c2

－2c·aｄ 又∵在rt△aｄc中，ad＝b·cosa ∴a2＝b2＋c2－2bccosa類似地可以證明b2＝a2＋c2－2accosb，c2＝a2＋b2－2abcosc

第二篇：余弦定理證明

余弦定理證明

在任意△abc中,作ad⊥bc.

∠c對(duì)邊為c，∠b對(duì)邊為b，∠a對(duì)邊為a-->

bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c

勾股定理可知：

ac2=ad2+dc2

b2=(sinb*c)2+(a-cosb*c)2

b2=sin2b*c2+a2+cos2b*c2-2ac*cosb

b2=(sin2b+cos2b)*c2-2ac*cosb+a2

b2=c2+a2-2ac*cosb

所以，cosb=(c2+a2-b2)/2ac

2

如右圖，在abc中，三內(nèi)角a、b、c所對(duì)的邊分別是a、b、c.以a為原點(diǎn)，ac所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是c點(diǎn)坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得b點(diǎn)坐標(biāo)是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).現(xiàn)將cb平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)a，則ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根據(jù)三角函數(shù)的定義知d點(diǎn)坐標(biāo)是(acos(π-c)，asin(π-c))即d點(diǎn)坐標(biāo)是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可證asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可證b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△abc的三邊分別為a,b,c,邊bc,ca,ab上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

4

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

第三篇：余弦定理證明過程

余弦定理證明過程

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

2

在任意△abc中,作ad⊥bc.

∠c對(duì)邊為c，∠b對(duì)邊為b，∠a對(duì)邊為a-->

bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c

勾股定理可知：

ac2=ad2+dc2

b2=(sinb*c)2+(a-cosb*c)2

b2=sin2b*c2+a2+cos2b*c2-2ac*cosb

b2=(sin2b+cos2b)*c2-2ac*cosb+a2

b2=c2+a2-2ac*cosb

所以，cosb=(c2+a2-b2)/2ac

2

如右圖，在abc中，三內(nèi)角a、b、c所對(duì)的邊分別是a、b、c.以a為原點(diǎn)，ac所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是c點(diǎn)坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得b點(diǎn)坐標(biāo)是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).現(xiàn)將cb平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)a，則ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根據(jù)三角函數(shù)的定義知d點(diǎn)坐標(biāo)是(acos(π-c)，asin(π-c))即d點(diǎn)坐標(biāo)是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可證asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可證b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△abc的三邊分別為a,b,c,邊bc,ca,ab上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述m(更多好范文請(qǐng)關(guān)注：WWw.)a表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

4

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

第四篇：余弦定理的證明方法

余弦定理的證明方法

在△abc中，ab=c、bc=a、ca=b

則c^2=a^2+b^2-2ab*cosc

a^2=b^2+c^2-2bc*cosa

b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

下面在銳角△中證明第一個(gè)等式，在鈍角△中證明以此類推。

過a作ad⊥bc于d，則bd+cd=a

由勾股定理得：

c^2=(ad)^2+(bd)^2，(ad)^2=b^2-(cd)^2

所以c^2=(ad)^2-(cd)^2+b^2

=(a-cd)^2-(cd)^2+b^2

=a^2-2a*cd+(cd)^2-(cd)^2+b^2

=a^2+b^2-2a*cd

因?yàn)閏osc=cd/b

所以cd=b*cosc

所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosc

在任意△abc中,作ad⊥bc.

∠c對(duì)邊為c，∠b對(duì)邊為b，∠a對(duì)邊為a-->

bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c

勾股定理可知：

ac2=ad2+dc2

b2=(sinb*c)2+(a-cosb*c)2

b2=sin2b*c2+a2+cos2b*c2-2ac*cosb

b2=(sin2b+cos2b)*c2-2ac*cosb+a2

b2=c2+a2-2ac*cosb

所以，cosb=(c2+a2-b2)/2ac

2

如右圖，在abc中，三內(nèi)角a、b、c所對(duì)的邊分別是a、b、c.以a為原點(diǎn)，ac所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是c點(diǎn)坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得b點(diǎn)坐標(biāo)是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).現(xiàn)將cb平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)a，則ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根據(jù)三角函數(shù)的定義知d點(diǎn)坐標(biāo)是(acos(π-c)，asin(π-c))即d點(diǎn)坐標(biāo)是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可證asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可證b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△abc的三邊分別為a,b,c,邊bc,ca,ab上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

4

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

第五篇：高考考余弦定理證明

從高考考余弦定理證明談起【題1】 敘述并證明勾股定理（1979年全國(guó)卷，四題）. 【說明】 這道大題，在總分為110分的考卷上，理科占6分，文科占9分.理科的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是：（1）敘述勾股定理（2分）；（2）證明勾股定理（4分）.

【題2】 （1980·理科四題（滿分8分））寫出余弦定理（只寫一個(gè)公式即可），并加以證明

【插話】 對(duì)這道題目，人們雖然不感到新鮮，但有一個(gè)期待，期待著標(biāo)準(zhǔn)答案中有“新鮮東西”出現(xiàn).后來一看，非?！笆?，該題對(duì)余弦定理的證明，依賴的仍然是勾股定理.

【題3】（2014年四川）

（文）（19）（本小題滿分12分）

；

2由推導(dǎo)兩角和的正弦公式

，求.（?。?證明兩角和的余弦公式（ⅱ）已知

解：(1)①如圖，在執(zhí)教坐標(biāo)系xoy內(nèi)做單位圓o，并作出角α、β與－β，使角α的始邊為ox，交⊙o于點(diǎn)p1，終邊交⊙o于p2；角β的始邊為op2，終邊交⊙o于p3；角－β的始邊為op1，終邊交⊙o于p4.

則p1(1,0),p2(cosα,sinα)

p3(cos(α＋β),sin(α＋β)),p4(cos(－β),sin(－β))

由p1p3＝p2p4及兩點(diǎn)間的距離公式，得

[cos(α＋β)－1]＋sin(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]＋[sin(－β)－sinα]

展開并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)

∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.?②由①易得cos(

sin(α＋β)＝cos[

＝cos(－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)] －α)＝sinα,sin(－α)＝cosα 2222－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)

＝sinαcosβ＋cosαsinβ??????????????6分

(2)∵α∈(π,),cosα＝－

∴sinα＝－

∵β∈(，π),tanβ＝－

∴cosβ＝－,sinβ＝

cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ

＝(－)×(－)－(－

)× ＝ （理）（19）（本小題滿分12分）

（ⅰ）1證明兩角和的余弦公式

2由推導(dǎo)兩角和的正弦公式

，且，求cosc. ； . （ⅱ）已知△abc的面積

解：(1)①如圖，在執(zhí)教坐標(biāo)系xoy內(nèi)做單位圓o，并作出角α、β與－β，使角α的始邊為ox，

交⊙o于點(diǎn)p1，終邊交⊙o于p2；角β的始邊為op2，終邊交⊙o于p3；角－β的始邊為op1，終邊交⊙o于p4.

則p1(1,0),p2(cosα,sinα)p3(cos(α＋β),sin(α＋β)),p4(cos(－β),sin(－β))

由p1p3＝p2p4及兩點(diǎn)間的距離公式，得

[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2

展開并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)

∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.????????4分

②由①易得cos(

sin(α＋β)＝cos[

＝cos(－α)＝sinα,sin(－(α＋β)]＝cos[(－α)＝cosα －α)＋(－β)] －α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)

＝sinαcosβ＋cosαsinβ??????????????6分

(2)由題意，設(shè)△abc的角b、c的對(duì)邊分別為b、c

則s＝bcsina＝

＝bccosa＝3＞0

∴a∈(0,

2 ),cosa＝3sina 2又sina＋cosa＝1，∴sina＝,cosa＝

由題意，cosb＝,得sinb

＝

∴cos(a＋b)＝cosacosb－sinasinb＝ 故cosc＝cos[π－(a＋b)]＝－cos(a＋b)＝－

【題4】（2014年陜西） ??????????12分

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